При резком торможении педаль тормоза начинает скакать

Мануал читай. Весь. 

Мне интересно, а когда обучают народ вождению, не объясняют про такие системы как ABS, ESP, EBD? Вроде как учат на современных авто.

Это нормальная работа тормозов с АБС)

В своё время по началу тоже ездил года три на машине, а потом по снегу поехал на летних и впервые узнал за эти три года, как работает АБС, тоже был шок)

Человек впервые сел на автомобиль с АБС, при этом, не удосужившись прочитать инструкцию по эксплуатации. Что ж, такое бывает, ничего страшного)

Я, несмотря на стаж 21 год, всегда смотрю инструкции к текущей машине: у каждой бывают какие-то особенности, которые быстрее и проще почерпнуть именно из заводского манула, "методом тыка" конечно тоже можно, но некоторые, например, годами ездят на ВАГе каком-нибудь и не знают о десятках т.н. "скрытых функциях", заложенных производителем, и таких примеров лично я знаю не один и не два.

Нужно давать больше информации при вопросе, пробег какой, есть ли АБС, ЕСП, это важно.

это работает АБС